助動詞の shall と should 関係は shall の過去形が should
という形になりますが現代英語では別々の助動詞として
考えられています。

まず shall ですが使用頻度は低いと思います。

使い方としては「Shall I ～ ？」「Shall we ～ ？」というように
疑問文の形で使われることが多いです。

「Shall I ～ ？」

①　Shall I call you tonight ?

(今夜、電話しましょうか。)

②　Shall I help you ?

(お手伝いしましょうか。)

「Shall we ～ ？」

③　Shall we go shopping ?

(買い物に行きませんか。)

④　Shall we play tennis ?

(テニスをしませんか。)

should にはいくつか使い方がありますが、ここでは代表的な
「～したほうがいいですよ(義務)」「～すべきですよ(推量)」という
表現を覚えましょう。

should は shall の過去形という形ですが過去の内容ではありません。

「義務を表すshould の意味」

You should see a doctor.
(医者に診てもらったもらったほうがいいですよ。)

You should see that movie.
(あの映画は見るといいよ。　＊見たほうがいいよ。)

Should I mail this letter now ?
(この手紙はすぐ出さないといけませんか。)

Where should I put this book ?
(この本はどこに置けばいいですか。)

「推量を表す should の意味」

That store should close at eight every day.

(あの店は毎日８時に閉まるはずです。)

He should arrive by eight o'clock.

(彼は８時までには到着するはずです。)

中学英語で必ず勉強するのが should と had better 使い方です。

should 「 ～すべきだ」　had better 「～したほうがよい」
とうように勉強したと思います。

しかし実際には逆の使い方をします。
should 「～したほうがよい」　had better 「 ～すべきだ」

had better は強い意味になり場合によっては強制的な表現になり
「言うとおりにしないと結果として大きな問題になる」というような
ニュアンスを含む感じになるので日常的な会話では使いません。

日常的に使う、ちょっとした提案やアドバイスには
should を使うようにしましょう。

英語の助動詞の will は中学の英語でも未来の内容を表現する場合に

使うということで勉強したと思います。

何となく分かっている人が多いと思いますが助動詞の will を

少し整理しておきましょう。

●助動詞の will を使った単純未来

主語の意志に関係なく未来に必然的に起こる出来事や
起こるであろうという内容を助動詞の will で表します。

It will rain in the afternoon.
(午後は雨になるだろう。)

He will be come here tomorrow.
(彼は明日ここに来るでしょう。)

Will you be free tomorrow evening ?
(明日の晩は暇ですか。)

My father will be 50 next year.
(私の父は来年５０歳になります。)

●助動詞の will を使った意志未来

助動詞の will は「～するつもり」という主語の意志を表す場合にも
使われますが、この場合基本的に１人称（Ｉ、Ｗｅ）が主語になります。

それ以外の主語（２人称、３人称）などで意志を表す場合は
be going to ～ を使います。

I will be a English teacher.
(私は英語の教師になるつもりです。)

We will help you with your work.
(私たちはあなたの仕事を手伝います。)

＊　Will you ～？　は「～してくれませんか」という相手に依頼する

表現になります。

Will you go shopping with me ?
(私と買い物に行ってもらえない。)

未来進行形の形　will be ＋ 動詞のing形

未来進行形は現在から見た未来の進行中の動作を表し

「～しているだろう」という意味を表します。

I will be leaving Tokyo about this time tomorrow.
(明日の今頃は東京を出発しているだろう。)

I will be meeting him at the station.
(駅で出迎えることになっています。)

未来進行形は「そうすることが決まっている」という変更の予定が少ない

場合に使うことが基本なので実際の会話などでは未来進行形を使わず

現在進行形の形の「be動詞 ＋ 動詞のing」で言っても伝えたい内容は伝わります。

●現在進行形

I am leaving Tokyo about this time tomorrow.

I am meeting him at the station.

「will ＋ 動詞の原形」と「will be ＋ 動詞のing形」の違いは
前者の場合は主語が一人称の場合は話し手の意志を表しますし
後者の場合は話し手の意志とは無関係の未来を表すなどの
違いはありますが、ここではあまり細かく覚えなくてもいいです。

未来を表す助動詞 will の基本的な使い方を覚えて下さい。

助動詞の must は中学の英語では「～しなければいけない」という意味で
勉強したと記憶があると思います。

「～しなければいけない」という意味の助動詞 must の使い方です。

We must study English.
(私たちは英語を勉強しなければなりません。)

You mustn't (must not) drive so fast there.

(そこで、そんなにスピードを出して運転してはいけません。)

「～にちがいない」という意味の助動詞 must の使い方です。

He must be busy.
(彼は忙しいに違いない。)

You must be kidding (joking) .
(冗談でしょう。　→　あなたは冗談を言っているに違いない。　)

「～でしょう」「～だろう」という意味の助動詞 must の使い方です。

You must be hungry.
(お腹が空いているでしょう。)

Something must be wrong with this car.

(この車はどこか故障しているんでしょう。)

「ぜひ～してください」という意味の助動詞 must の使い方です。

You must visit us when you come to Tokyo.
(東京に来た時は、ぜひ私たちを訪ねて下さい。)

must は have to (主語が三人称単数の場合は has to ) と
言い換えが可能というのは中学英語の基本中の基本として勉強しました。

You have to clean your room.
(あなたは部屋を掃除しなければいけない。)

He has to find another job.
(彼は別の仕事を探さなければいけない。)

Do we have to go there ?
(私たちは、そこへ行かなければいけませんか。)

両方とも同じような意味の使い方をしますが少々ニュアンスが違います。

must は個人的に「そうしなければいけない」という気持ちを伝える場合に、
have to は周囲の状況などから客観的に「そうしなければいけない」という
気持ちを伝える場合に使います。

しかし実際には英会話などでは気にしないで使ってもいいと思います。

must の否定文は「～する必要はない」という不必要という意味
have to の否定文は「～してはいけない」という禁止という意味

You mustn't go there.
(あなたは、そこへ行ってはいけない。)

You don't have to go there.
(あなたは、そこへ行かなくてもいい。)

gotta (読み方は"ガラ")は中学の英語の教科書では使われていませんが
英会話ではネイティブは良く使う言い方で意味は must と同じです。

He must be busy. ＝　He gotta be busy.
(彼は忙しいに違いない。)

You must be be kidding .　＝　You gotta be kidding.
(彼は忙しいに違いない。)

I must go.　＝　I gotta go.
(そろそろ行かなくちゃいけない。)

映画を見ていても非常に使われていてるので機会があれば
注意して見てみて下さい。

助動詞 may は「～してもいい」という許可を表したり
「～かもしれない」というような推測や可能性を表す場合に使います。

①「許可」

肯定文

You may take a rest.
(休憩してよろしい。)

You may go now.
(もう行ってよろしい。)

You may ～ は「～してもよろしい」という意味ですが許可を与える人が
指示をするような許可の与え方をする意味になるので目上の人には使いません。

疑問文

May I use this computer ?
(このコンピューターを使ってもよろしいですか。)

May I come in ?
(入ってもよろしいでしょうか。)

May I have your name ?
(お名前をお聞きしてよろしいですか。)

助動詞 may を使った「May I ～」 は相手に対して丁寧に
許可を求める表現です。

否定文

You may not play baseball in this park.
(この公園で野球をしてはいけません。)

助動詞 may の否定形は may not は「～してはいけません」という
不許可を表します。

②「推量・可能性」

肯定文

It may rain tomorrow.
(明日は雨になるかもしれない。)

This story may be true.
(この話は本当かもしれない。)

否定文

He may not come here today.
(彼は今日はここに来ないかもしれない。)

You may not be wrong.
(私が間違っているのかもしれない。)

助動詞 may を推量・可能性の意味で使うと「～かもしれない」という
気持ちを表します。

might は may の過去形ですが may よりも丁寧なニュアンスになると
覚えておいて下さい。

may [might] well 　「たぶん～だろう」「～するのももっともだ」

You may well be right.
(あなたの言う事はたぶん正しいでしょう。)

He may well give us good idea.
(彼は私たちに良いアイデアを与えてくれるだろう。

He may well be surprised.
(彼が驚くのももっともだ。)

He may well be proud of his son.
(彼が息子のことを誇りに思うのももっともだ。)

may [might] as well 　「～したほうがいい」

You may as well go there soon.
(すぐに家に帰ったほうがいいよ。)

助動詞 could の形は can の過去形ですが過去にとらわれず
微妙な気持ちが表現できます。

He could run very fast when he was young.
(彼は若い時とても速く走ることができた。)

助動詞 can の過去形として「～できた」という能力を表しますが
肯定文で使う could には「やろうと思えばできた」という意味があるので
単に過去に「～できた」という過去の事実を伝える場合は

He was able to run very fast when he was young.
というように be able to を使うのが普通です。

肯定文の could は形は過去形であっても過去の内容ではなくて
実際には起こりえない現在の状態を表す場合に使うことが多いです。

I could eat all the dishes of this restaurant in a day.
(私は一日で、このレストランの料理を全部食べれるよ。)

レストランの料理を一日で全て食べるのは実際にはありえないですね。

②「推測」

He could make mistakes.
(彼でも間違いはするかもしない。)

You could get sick if you don't take a rest
(休憩をとらないと病気になってしまうかもしれないよ。)

That could be a good idea.
(それは良い考えかもしれない。)

助動詞 could は過去形であっても「～かもしれない」という現在の時点の
話し手の推量の気持ちを表現することができます。

③「許可」

Could I use your computer ?
(あなたのコンピューターをお借りしてもよろしいですか。)

Can I ～ ? より丁寧な依頼の言い方になります。

④「依頼」

Could you take our picture ?
(私たちの写真を撮って頂けますか。)

「～して頂けますか」という依頼の表現で 「Can you ～ 」より
丁寧な言い方になります。

助動詞 can は英語から遠ざかっている人でも比較的覚えている助動詞で
「～できる」という意味で理解していると思います。

しかし can は過去形の could を含め、いろいろな使い方があるので
代表的な使い方をここでは紹介します。

He can speak English very well.
(彼は英語をとても上手に話すことができます。)

助動詞 can の基本とも言える使い方で何かをする能力ある内容を表します。

He is able to speak English well.

「能力」の使い方での can は be able to で置き換えることが可能ですが
全く同じようなニュアンスではありません。

can の「できる」というのは基本的に話し手の気持ちが入っていて
「何かやろうと思えばできる」というニュアンスですが
be able to は「～ができる」という事実を伝えるイメージです。

この感覚は難しいと思いますが、例文などでも紹介していくので
ここでは違いはあるぐらいに覚えておいて下さい。

②「可能」

You can play baseball here.
(ここなら野球ができるよ。)

同じ「できる」という訳でも「能力のできる」とは違って
何かをすることが可能である内容を表します。

③「許可」

You can use my dictionary.
(私の辞書を使ってもいいですよ。)

Can I use this dictionary ?
(この辞書を使ってもいいですか。)

「～してもいです」「～してもいいですか」という許可をしたり
求める内容を表します。

④「可能性」

The accident like this can happen to anybody.
(このような事故は誰にでも起こる可能性がある。)

Swimming here can be dangerous.
(ここで泳ぐことは危険です。)

「そのような可能性が起こりうる」ということを表します。

⑤「依頼」

Can you help me ?
(手伝ってくれる。）

「～してくれますか」といように相手に依頼する表現です。

⑥「否定的な推量」

He can't be ill.
(彼が病気であるはずがない。)

「そのようなはずがない」という話し手の気持ちを表します。

英語の助動詞 can は表現の範囲が広い助動詞なので上記以外の
使い方もありますが基本的な使い方を紹介しました。

英語の助動詞は動詞の前に置いて動詞を助ける役割をするような品詞で
動詞の意味を補うような働きをします。

例えば・・・
I play tennis.
と言えば単に「テニスを日常的にする」という表現になりますが

I can play tennis.
と助動詞の can を動詞の前に置くと「テニスができる」という

能力を示し漠然とした内容に、話し手の気持ちを入れて表現することができます。

「漠然と情報のみを伝えるのか」「話し手の考えが入った情報を伝えるのか」
日本語で話をする時でも同じですね。

助動詞の覚え方は中学の英語で勉強した意味に加え少し突っ込んだ
意味を理解していくことです。

英語では「テニスする」という情報を、どのように伝えるのかという場合に
助動詞が役立ちます。

同じ「テニスをする」という内容でも伝え方に変化を付けることができます。

また中学の英語で勉強した 「can ⇒ ～できる」というような覚え方だけでは
実用的ではありませんし can にしても使い方もいろいろあります。

動詞の数は無数にあるので大人が英語をやり直したいと思って勉強しようとしても

大変ですが助動詞は数は知れていますし、少ない数でも話す人が伝えたい内容を

どのように思っているのかを表現できる品詞なので少し勉強して使えるようになりましょう。

He speaks English.
通常、主語が３人称単数の場合は動詞に s、es が必要

He can speak English.
助動詞がある場合は主語が３人称単数でも動詞は常は原形

中学の英語でも勉強した代表的な物と意味をいくつか紹介します。

上記の助動詞にも過去形があったり、言い換えの表現があったり
数は少ないですが、覚えておくと実用的な表現が可能になります。

例えば（～ することができる）という意味の can は be able to という
表現で言い換えが可能です。(厳密には意味の違いはありますが）

＊ be able to の be は be動詞の be です。

She can play the piano.

She is able to play the piano.

また気持ちを微妙な違いで表す

It is true.　(それは本当です。)

It may be true.　(それは本当かもしれない。)

It must be true.　(それは本当に違いない。)

それぞれの意味や使い方も解説していくので少しずつ

理解していって頂ければと思います。